mainfont: Noto Sans Mono CJK TC
LN0 - 初中内容拾遗(1)
这份文档是Lecture Note. 是我讲述思路的一个大纲(你在电脑屏幕上看到的PPT就是我用一个神秘的软件从这份文档中生成的). 另外还有一些习题, 你可以在编号是EX0的地方找到它. 因为这是第一话, 例题不会太多, 但是会很好玩(会让只会内卷的同学摸不着头脑). 祝你完成所有的训练, 让自己真正变强!
一些闲话
为什么要做这件事?
- 为啥有这个东西?
- 其实... 是课程改革惹的祸.
- 初中课改: 超, 初中学生学的东西太多了, 要少一点, 简单一点!!!
- 高中课改: 超, 高中学生学的东西太多了, 要少一点, 简单一点!!!
- 所以, 有一些内容被无情的嘎掉了
- 这不是挺好?
- 但是试题难度不减啊, 你的自信可能就被干得粉碎.
- 所以就有了这门课.
数据: 新课改与高考的难度
- 逐渐减小的!
- 2000年, 考取PKU的分数线是600分. 但现在可能不会那么低了. $600\to 690$.
- 打折了! '减负嘛!'
- 我们补上来好吧
注意: 代数的重要地位
- 我们在高中可能对于代数的要求比初中高很多.
- 所以一定, 一定, 不要慌, 做不出来是正常的, 多问, 多思考, 就可以解决!!
- 反而几何的结论可能有点淡化了. 不太不要在意.
题目1,2以及一些思考
说明: 这里的题目对应的是后面练习题的编号. 应该是在课程主页上面点那个书本一样的记号的东西得到的. 如果你在自我学习, 请看到这样的指示之后尝试一下对应的习题再继续.
- 注重方向感
- 多玩玩数学
- 解答完之后再看看有没有什么可以玩的东西!
- 例如: 第二题: 见到这个$x$, $y$, 我有哪些想法, 那些思考?
- 自己造一个吧!
- 注意练习的时候, Be curious!
- 反面例子: 正确的是xxx, 然后你发现ABC错了, D就不看了.
- 虽然这样的技巧能一时提高你的成绩, 但是你缺乏了能力的训练.
- 错在哪? 我会犯嘛? 我怎么改才能让他对? 怎么改才会对? 我碰上了哪个核心条件, 让对的成错的呢?
- 拿例二试试:
- $x^3-y^3$可以求吗? $x^4-y^4$可以求吗?
- 可以! 就像原子拼出来分子一样, 可以进行转化!
- 那么$y/x+x/y$呢?...
- Good luck and have fun!
我身边的一些例子
- 数学好的人总是对于生活/解题中的一些现象特别敏感
- 为什么是这样, 怎么会是这样...
- 它们都很爱玩数学!
- 生活中玩, 解题中玩, 甚至在做语文卷子(论述文)的时候就不经意间发明了数理逻辑(大雾, 但确实是, 那天他还造了几个公理, 推理了一大堆定理什么的, Orz).
- Have fun!
- Anyway, 回到习题中来, 实践是检验真理的唯一标准!
习题3.
我会拼凑!
$$
\begin{aligned}
&=a(1/a+1/b+1/c)+b(1/a+1/b+1/c)+c(1/a+1/b+1/c)-3
\\&=-3
\end{aligned}
$$
我还没什么思路, 暴力展开试试!
$$
\begin{aligned}
&= a/b+ a/c+b/c+b/a+c/a+c/b
\\&= (a+c)/b + (a+b)/c+(b+c)/a=-3
\end{aligned}
$$
我想减少每一个部分的变量!
$$
\begin{aligned}
&=(b+c)(1/b+1/c)+(a+c)(1/c+1/a)+(a+b)(1/a+1/b)\\
&=-(6+(a+b)/c+(a+c)/b+(c+b)/a)\\&=-3
\end{aligned}
$$
解答出来不就行了? 整这么多干什么?
- 太长不看: 用正确的方法做正确的事情!!!
- 原因: 你肯定有不会做的题, 遇见不会的题, 你会怎么做?
- A1. 答案评论型: 我从第一行开始读, 第二行... 嗯, 答案写的真好, 这是对的! (但是脱离答案自己大概率还是不会做)
- 其实, 答案最重要的是行与行之间没写出来的部分!!
- 为什么会想到? 哪个条件触发了它的思考? 我为什么没想到?
- 无论如何, 先做一个猜测!
- 警告: 永远不要相信"题做多了就知道了!"如果你不满意, 再换个平台问, 知道满意为止
- 本节课的最后我或许会讲一讲提问的智慧, 以及提问的平台和方法. Stay tuned.
- 看1,2 保证对称性(Symmetry)! 不对称不好, 对称感觉好.
- 但是2更自然. 有没有感觉想大通分去做的? 试试看, 挺好的
- 就是你可能发现有点麻烦就会反思一下为什么那样会麻烦.
- 3是直接的一个做法, 用两个出现就不要三个, 变量要少, 会很好.
代数恒等变形: 一些公式
鸡汤灌完了, 开始看点你(可能)不熟悉的公式
$$
\begin{aligned}
(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\
(a+b)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\
(a+b)^4&=a^4+4ab^3+6a^2b^2+4a^3b+b^4
\end{aligned}
$$
- 为什么? 有关杨辉三角, 组合数, 二项式定理, 至于为什么...留个悬念! 你可以试一试自己发现它!(不难的)
- 在1050年, 贾宪: 我发现一个三角! 杨辉: 我感觉这个东西特别好, 大家都来用! 结果: 销量 杨辉>贾宪
- 吐槽一下拼音输入法, 打中文人名太累了, 以后直接缩写吧
- 可惜的是西方都没有承认这个东西. 西方它们认为帕斯卡三角形.
$$
\begin{aligned}
(a-b)^2&=?\\
(a-b)^3&=?\\
(a-b)^4&=?
\end{aligned}
$$
- 把$b$换成$-b$就行了! 这才是用正确的方式做正确的事情!
$$
\begin{aligned}
a^2-b^2&=(a-b)(a+b)\\
a^3-b^3&=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\
\end{aligned}
$$
- 你是怎么想到的? 留个悬念, 以后说, 现在先简单展开并假定有一个天才喜欢摆弄东西罢了
- 应该玩过RPG什么的吧. 如果主线进度推不完, 损失的有趣的就多了!
还是稍微给个提示吧!
考虑
$$
\begin{aligned}
a^4-b^4&=(a^2+b^2)(a^2-b^2)\\
&=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)\\
&=(a-b)(a^3+a^b+ab^2+b^3)
\end{aligned}
$$
你还在展开-合并同类项?
- 别这样! 直接按照降幂排列观察你想要的东西可以由谁凑出来.
- 你们的老学长到高三的时候才领悟到这件事, 导致了他的圆锥曲线计算一直比较慢(因为要适应, 还不能犯错)
- 用正确的方法做正确的事!
举例: $(3x^2+2x+5)(x+3)=?x^3+?x^2+?x+?$
- 先观察形式结构!
- 以后学圆锥曲线你就知道了.
另一个例子: 联立
$$
x^2/4+y^2/3=1, y=3x+1.
$$
变成$?x^2+?x+?=0$. 有目标再回去找人吧!
另外一个探索: 两位数乘两位数, 为什么列竖式是对的? 有没有什么更快速的方法? 《解题研究》
找规律, 找出$a^5-b^5=(a-b)(?)$
看4.
- 看答案是不是很震惊!!!
- 没错, 这东西不是整系数的.
- 但是多项式的性质告诉我们, 任何一个高于3次的多项式都可以被分解为若干个一次和二次的因式的乘积! (在实数域上)
- 好神奇! 参见《高等代数》.
- $a^6+b^6=?$ $a^{114514}+b^{114514}=?$
为什么数学是科学?
- 在你的印象中, 可能没有"控制变量法"的都不是科学.
- 确实, 有这个感觉是正常的. 只不过它们的理科的类型是不一样的.
- 数学: 不需要证明的公理得到定理... 一步一步推出来, 逻辑缜密严谨, 一定是对的!
- 物理: 随着时代的发展会更改. "同学们, 你们在初中学的xx是错的!" (在否定中前进)
- 数学只有概念的扩展, 还没有什么理论自相矛盾, 也不会随随便便说"你们在初中学的定理x是错的!"
- 除非你把公理换了, 哈哈.
上大学也是这样!
上研究生也是这样!哈哈(笑不出来).
- 化学: 我们观察到了一个现象!
- 今天我们上课讲这个定律和5个例外. (你们学了就知道了)
- 生物:
(这算理科?) 真正参与计算的你那一部分学好数学就行了, 剩下全背.
韦达定理
说的是若$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$, 若存在两个实根, $x_1+x_2=-b/a$, $x_1x_2=c/a$.
韦达定理是十分伟大, 因为是韦达发现的. 戳啦! 韦达定理不是韦达发现的(意味深).
为什么?(不那么暴力的阐述) 任意一个二次方程, 都可以写成$a(x-x_1)(x-x_2)=0$, 展开, 比对, $ax^2-a(x_1+x_2)x+a(x_1x_2)=0$, 说明完毕.
-
诶, 好像可以推广! 三次方程试试看! $ax^3+bx^2+cx+d=0(a\neq0)$, 是不是也有类似的形式?
-
但你已经可以写出来了! 有意思的, 对吧? 看6. 很自然的吧. 四次方程有吗? 100次有吗? 留个悬念!
-
这就是我们如何看数学的.
意义: 表达了根与系数的关系. 之后你会体会到这种方法的方便之处的.
例子: $x_1^2+x_2^2, x_1^3+x_2^3$.
Takeaway: 一切对称形式都可以用韦达定理表示.(有时候叫做轮换对称式(就是把所有的$x$换成$y$, $y$换成$x$, 形式还不变的式子))
- 你还会发现如果我们已经知道一个根的时候就可以用这个东西快速整出来, 不用再进行繁杂的计算了. Cool!
例子: $x^2+2kx-k^2+3=0$, 一个根是$2$, 求另一个根.
学解析几何的时候你会知道的.
看6.
- 有实数根说明$\Delta >0$.
- 那么是$x_1+x_2>2, x_1x_2>1$. 这对吗?
- 反例: $x_1=0.1, x_2=100$.
- 这样: $(x_1-1)(x_2-1)>0$, $(x_1-1)+(x_2-1)>0$
- 针不戳.
总结: 学到了什么
用探索的眼光学习数学
- 举个例子, 以后可能会学习更多奇妙的领域, 肯定会接触到很多奇妙的定义/定理/证明.
- 整除:若整数b除以非零整数a，商为整数，且余数为零，b为被除数，a为除数，即a|b（“|”是整除符号），读作“a整除b”或“b能被a整除”。a叫做b的约数（或因数），b叫做a的倍数。
- 对吗? $3|2 \qquad 2|6\qquad a|3a\qquad$
- 这个符号为什么这样写? 像不像从后面的数抽出一个因子放在了前面?
- ...
- 虽然刚开始可能会迷茫, 但是学完之后, 试着摸一摸这东西是怎么发展到今天这样的, 也是十分激动人心的.
- 在玩这些定义的过程中, 适当地辅以解答题目, 就可以有事半功倍的效果.不会是很正常的, 看看哪里出锅了, 好好体会就行了! 一定不要死记硬背!!!
- 但是不是不需要背诵, 而是你用多之后自然地体会出了其中的规律, 并且内化于心, 快速准确地应用!
- 数学的重点不在于死记笔记, 而是在于能够熟练应用. 因此可以提炼基础的定义和一些常见的方法, 确保你在遇到困难的时候可以回来再看看.
一些有趣的公式(非常基础, 建议刻进DNA)
$$
\begin{aligned}
(a+b)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\
a^3-b^3&=(a-b)(a^2+ab+b^2)
\end{aligned}
$$
-
哈哈其实要记得也没那么多, 剩下的只是用来体会数学之美的.
-
只不过因式分解的一些方法(十字相乘, 分组分解, 拆添项数什么的忘了再看看).
韦达定理 (非常基础, 建议刻进DNA)
若$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$, 若存在两个实根, $x_1+x_2=-b/a$, $x_1x_2=c/a$.
留下了那些悬念?
3个悬念!
- 杨辉三角
- 参考书目: 选修???(忘了, 想起来补上去), 《组合数学》(我都有PDF, 想要我可以给)
- 没事, 高二会学到的.
- 立方和/差公式
- 高等代数(这是什么东西?) 来听听介绍吧(第三P)
End.
Good luck and have fun!
最后附上(整个高中数学的)生存指南:
核心指导原则: Don't Panic. (不要慌) ——The Hitchhiker's Guide to the Galaxy
Real power can't be given, it must be taken. ——Godfather
(不太全, 每一话的Lecture Notes应该会想到一点补一点.)