EX1 - 集合

零. 判断: 很小的实数可以构成集合; 集合${1,2,3}$与集合${(1,2,3)}$是同一个集合;

一. 填入符号$\in$或者$\notin$: $\sqrt3 \qquad \textbf{Q}, 3 \qquad \textbf{R}$.

二. 填入符号$\in$或者$\notin$: $7\qquad {x|x=2m+3n,m,n\in \Z}.$

三. 填入符号$\in$或者$\notin$: $\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt{3}} \quad{x \mid x=a+\sqrt{6} b, a \in \mathbf{Q}, b \in \mathbf{Q}}$

四. 列举集合$A$的元素, 其中$A$满足: $x\in \mathbb N$并且${8\over(6-x)}\in \mathbb N$.

五. 设 $S={x \mid x=m+\sqrt{2} n, m, n \in \mathbf{Z}}$

(1)若 $a \in \mathbf{Z}$ , 则 $a$ 是否是集合 $S$ 的元素?

(2)对于 $S$ 中任意两个元素 $x_{1} , x_{2} , 则 x_{1}+x_{2} , x_{1} \cdot x_{2}$ 是否属于 $S$ ?

(3)对于给定的整数 $n$ , 试求满足 $0<m+n \sqrt{2}<1$ 的 $S$ 中元素的个数.

六. $S={x|x=m^2+n^2, m,n\in \Z}$, 若$a,b\in S$, 问$ab, a/b$属于$S$吗? 如果$b\neq 0$, $a/b$是否可以表示为两个有理数的平方和?

七. 去掉$(1,2)$的$xOy$坐标平面可以怎么用集合表示? 是{$(x,y)|x\neq1$ 或 $y\neq2$}还是{$x,y|x\neq1$ 且 $y\neq2$}? 去掉$(1,2)$和$(3,4)$的$xOy$坐标平面可以怎么用集合表示?

八. $A={2 x \mid x=2 k, k \in \Z} ,B={x \mid x=2 k+8, k \in \Z}$, 证明$A=B$.

九. 做选择

(1)设集合 $A=\left{x \mid x=\frac{7}{9}+2 k\right. 或 \left.x=\frac{11}{9}+2 k, k \in \mathbf{Z}\right}, B=\left{y \mid y=\pm \frac{7}{9}+2 k, k \in \mathbf{Z}\right}$ , 则 $A$ 与 $B$ 的关系是 ( )

A. $A \subseteq B$

B. $B \subseteq A$

C. $A=B$

D. $A \cap B=\left{\frac{7}{9}\right}$

(2)已知集合 $M=\left{x \mid x=m+\frac{1}{6}, m \in \mathbf{Z}\right}, N=\left{x \mid x=\frac{n}{2}-\frac{1}{3}, n \in \mathbf{Z}\right}, P=\left{x \mid x=\frac{p}{2}+\frac{1}{6}, p \in \mathbf{Z}\right}$ , 则 $M, N, P$ 满足的关系是（ ）

A. $M=N \varsubsetneqq P$

B. $M \varsubsetneqq N=P$

C. $M \varsubsetneqq N \varsubsetneqq P$

D. $N \varsubsetneqq P=M$

(3)若 $A={(x, y)|| x|+| y \mid \leqslant 1}, \quad B=\left{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right}, \quad C={(x, y)|| x|\leqslant 1,| y \mid \leqslant 1 }$ , 求 集合 $A, B, C$ 的关系.

十. 来数数

(1)求集合 ${1,2},{1,2,3},{1,2,3,4}$ 的子集的个数, 真子集的个数, 非空真子集的个数, 并推导出 ${1,2,3,4,5, \cdots, 100}$ 的子集和真子集的个数.

(2)求满足条件 ${1,2} \subseteq A \subseteq{1,2,3,4,5}$ 的集合 $A$ 的个数.

(3)求集合 $M={1,2,3, \cdots, 100}$ 的所有子集的元素之和的和 (规定空集的元素和为零).

十一. 填空

(1) 已知集合 $A={a, a+d, a+2 d}, B=\left{a, a q, a q^{2}\right}$ , 其中 $a \neq 0$ , 且 $A=B$ , 则 $q$ 等于_____.

(2) 已知集合 $A=\left{x \mid x^{2}+a x-6 a^{2} \leqslant 0, x \in \mathbf{R}\right}, B={x|| x-2 \mid<a, x \in \mathbf{R}}$ , 当 $B \varsubsetneqq A$ 时, 则实数 $a$ 的取值范围是_____.

十二. 方程组 $\left{ $$\begin{array}{l}x+y=1 \\ x^{2}-y^{2}=9\end{array}$$ \right.$的解集是___.

十三. 用适当的符号填空

(1) $\sqrt{3} \qquad {x \mid x \leqslant 2},(1,2) \quad{(x, y) \mid y=x+1}$

(2) $\sqrt{2}+\sqrt{5} \qquad {x \mid x \leqslant 2+\sqrt{3}}$ ,

(3) $\left{x \mid \frac{1}{x}=x, x \in \mathbf{R}\right} \qquad\left{x \mid x^{3}-x=0\right}$

十四. 若集合 $M=\left{x \mid x^{2}-x-2>0\right}, T={x \mid m x+1<0} \text ,$ 且 $T \subseteq M$ 求实数 $m$ 的取值范围.