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LN1 - 集合

概念一定要亲身体会! 多复习, 翻翻笔记, 确保你有切身体会.

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老师会讲给你听的集合故事

数学的精髓之一在于对事物的抽象

回想你有没有这样的经历

• 老师: 请班里的男生站起来.
• 数一数(count), 班里一共有多少人. 男生 = 对于一个人, 他的性别是男.

这不是废话?

• 我们是不是也可以用一个描述, 来将具有一定属性(attribute)的东西归类在一起呢?
  • 这就是集合(set)的作用了.
• 于是我们想:
  • 集合是“确定的一堆东西”吧... 没有东西应该也算是确定的一堆东西——空.
  • 既然集合的作用是分类, 那么把一件事情重复说几遍也没什么太大意义, 因此, 我们要求集合里面不能有重复的元素.
  • 既然集合的作用是分类, 那么顺序自然感觉也是无关的!
• 都有什么东西可以看作一个集合呢?
  • 任何东西!
  • 一些集合也可以形成集合!
  • 例子: {{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4}}.

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你开始了性质的探求

• 是不是要发明一个符号, 来表示一个东西是不是在一个集合里?

  • 是的! 我们用某元素$\in$某集合(属于, belong to)这个记号.
  • 外观上还挺像小于号$<$, 你可以看到右边的元素可能会多一些, 从右边抽出来一个少一点的元素, 就得到了一个元素.
  • 那不属于呢? 参见$=,\neq$, 你应该会发明出来$\cancel\in$
  • 杠往那边划? 无所谓.

• 为什么不把这些都用字母表示呢?

  • 当然可以! 这样, 因为是一堆元素的collection, 就用大写字母表示好了, 比如$A$, $B$. 集合中的元素就用小写字母表示就好了. $a$, $b$.

• 举例: $a\in A, b\in B$.

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教科书上的概念

直接照着书上讲太没意思了! 不如来个好玩的(你以后可能会经常需要用到), 如何在网络上学习数学概念/知识?

查百度! 查维基百科!不知道Wiki会不会拒绝我们的连接

有了互联网, 我们就可以学习整个世界上的知识!

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教科书上的概念(cont'd)

在有了这些基础之后, 我们还是来提炼一下我们至少应该知道什么.

• 定义
• 性质
• 表示: 集合; 元素
• 分类的方法:
  • 有限(finite)集/无限(infinite)集
  • 数(number)集/点(dot)集/人(persion)集/函数(function)集合/集合(set)集/...
  • 可数(countable)/不可数(uncountable)
• 常见数集: 感觉没啥好说的, 照着说说就行了
  • 为啥$N^$? 一般而言, 加表示去0.
  • 为啥整数(Integer)是$Z$? 用德语(Zahlen)的首字母表示, 因为有一位德国数学家对于整数进行了很详细的研究.
  • $Q$是啥? Quotient(成比例数, 也就是商)的缩写.
  • Real, Imaginary. 留个悬念. Complex(复杂) 留个悬念.
• 表示法
  • 留意区间
  • 无穷符号
  • 默认$[m,n], m<n$

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练习0,1.

引申的问题:

• 离散(discrete)和连续(continuous).
• 整数可数(countable)吗?实数可数吗?
• 自然的问题: 有理数可数吗? 留个悬念.
• 问题3怎么写? 等一下就知道了.

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名字是浮云, 内容是本质

抓住代表元素, 看它想要表达什么. ${x|x=2k,k\in \Z}, {x|x=2k+1,k\in \Z}, {x|x=2k-7,k\in \Z},{y|y=x+1},{x|y=2x}$

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练习4,2.

• 对于练习4, 考虑因数!
• $7=2m+3n$, 有无数组整数解.
  • 比如2,1; 那就可以写成$7=2\times2+3\times1+t(3\times2+(-2)\times3)$, 后面的是0.
  • 是不是任意整数都可以这样表达? 欢迎来到数论的世界!
  • 好像凑出1就可以了...
  • 本质: 所有整数.
  • 还可以怎么写, 还可以表示所有整数?
  • 一个奇数倍的$m$, 偶数倍的$n$, 可以吗?
  • 如$6m+9n$, 好像只能表示3的倍数呀...
  • 留个悬念... 提示: 两个数互质(coprime, 两个数的最大公约数(Greatest Common Divisor, GCD或gcd)等于1). 你该怎么证明?
• 参考资料: 《数论导引》, 同余-OIwiki(congruence).

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为什么要定义空集(empty set)

• 有点像0的发明.
  • 运算需要 3-3= .
  • 占位符. 1 5+1 5=111 .
• 集合要被计算!
  • 算着算着元素没了!
  • 看个好玩的: ${\phi}$ 是空集吗?
  • $\phi \in {\phi}$吗?
  • $\phi \in \phi$吗?
  • $\phi \in {{\phi}}$吗?
  • 只看第一层的.
  • $1\in {\R}$?

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练习5,6.

• 6的1小问先拆开再配平方.

• 2 转化为$ab/b^2=(m/b)^2+(n/b)^2$.

• 好耶!, 但是我们还有更好玩的. 有些集合经历了某些运算之后, 好像会跑出原有的范围. 这就是每次我们扩充数系(number system)的契机.

• 有一些不会, 这叫封闭性(closure).

• 提一嘴封闭性:

  • 实数封闭吗?
  • 有理数封闭吗?

• 好像没什么意义, 封不封闭取决于要在这上面做什么操作.

  • 加减乘除?
  • 开根号?

• 好了, 现在有4个问题了. 不妨回答一下.

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子集(subset)

• 为什么不叫父集?
• 问英文翻译 sonset(x) subseteq(√) "源自于"
• 严格的,(任意$\forall$, any). $\forall x\in A, x\in B, A\subseteq B$. $\subseteq$包含于(include), 有点像$\leq$.
• 从元素个数来看, 就是$|A|\leq|B|$.
  • 有时候也用$\text{card}(A)\leq \text{card}(B)$.
  • 但是太不方便敲键盘了.
  • 以后我可能会专门说一下如何造一个美观的数学文章. ($\LaTeX$预定).
• 反过来就念了包含.
  • 为什么差了个"于"
  • "于"是介词(prep.), 作用表被动(passive).
  • 除以的"以"也是一个道理.
• 规定: 空集是任何集合的子集. 为了方便. 你以后会感受到.

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子集(subset)(contd)

• 这对吗? $\phi \subseteq \phi$
• 不包含(于)
• 真包含(于)
  • $A\subseteq A$?
  • (无耻一点想)辈分乱了哈哈哈
  • 不行, 必须定义一个严格小的, 就叫"真子集".
  • 若$A\subseteq b$, 存在($\exist$, Exist), $x\in B, x\cancel\in A$. 那么$A\subsetneqq B$. (A是B的真子集).
• 有没有$\cancel\subsetneqq$?
  • 你说我打出来了就有?
  • 其实是两个命令的拼接, \cancel(生成斜线)\subseteq(生成子集符号)neqq(生成不等号) 那就是不包含或者相等, 有点模糊.
• 相等
  • 若$A\subseteq B,B\subseteq A$, $A=B$.

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练习8,9.

• $\subset$ 是过去表示 $\subseteq$ 的方法!
• 借助图像!

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老师不会给讲的集合故事

扔点视频,很有意思的一些.

数学有一个致命的缺陷: 并不是所有真命题都可以证明的. 公理化是什么？公理都是显然成立的吗？

应该也够了, 这两个视频都挺长的.

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总结: 学到了什么

数学概念的产生是很自然的

• 不管是集合, 还是什么其他东西, 它们的来源都是很自然的.
• 将数学概念拟人化有时候有意想不到的效果.
• 如果现在感觉不到的话, 以后会感受到的!
• 做好整理, 反复体会, 就有收获!

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一些概念

• 集合
  • 定义
  • 表示法
  • 关系
  • 运算
  • ...
• 关键还是如何再新背景下应用你以前学过的内容进行运算.

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超出考试要求的概念

• 本节没有悬念, 但是有超出考试要求的概念,很有意思
  • 可数集, 不可数集
  • 数论内容(gcd, 同余, ...)
  • 封闭性

感兴趣可以找我要PDF书. 有什么困难也可以直接问. 如果我也不会的话咱就一起阅读.

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练习10,11,12.

• 这是更多练习, 希望可以好好思考, 独立完成.

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End.

Good luck and have fun!