一. 求下列函数的定义域: (1)
$$y=\frac{(x-1)^{0}}{\sqrt{|x|-x}}$$
(2)
$$y=\frac{\sqrt[3]{x-1}}{|x+1|}$$
(3)
$$y=\sqrt{x+8}+\sqrt{3-x}$$
(4)
$$y=\frac{\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{1-x^{2}}}{x-1}$$ (5) $$y=\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{|x|-x}}}$$
二. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( )
(1) $y_{1}=\frac{(x+3)(x-5)}{x+3}, \quad y_{2}=x-5 ;$
(2) $y_{1}=\sqrt{x+1} \sqrt{x-1}, \quad y_{2}=\sqrt{(x+1)(x-1)} ;$
(3) $f(x)=x, \quad g(x)=\sqrt{x^{2}} ;$
(4) $f(x)=\sqrt[3]{x^{4}-x^{3}}, \quad F(x)=x \sqrt[3]{x-1} ;$
(5) $f_{1}(x)=(\sqrt{2 x-5})^{2}, \quad f_{2}(x)=2 x-5 .$
A. $(1)、(2)$
B. $(2)、(3)$
C. $(4)$
D. $(3) 、 (5)$
三. 看下面的问题:
(1)以下给出的对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射？如果是映射，是不是单射,满射,一一映射?
(2)设 $f: A \rightarrow B$ 是从集合 $A$ 到 $B$ 的映射, $A=B={(x, y) \mid x \in \mathbf{R}, y \in \mathbf{R}}$ , $f:(x, y) \rightarrow(k x, y+b)$ , 若 $B$ 中元素 $(6,2)$ 在映射 $f$ 下的原象是 $(3,1)$ , 则 $k, b$ 的值分别为
四. 回答下面的问题
(1)若集合 $A={-1,0,1}, B={-2,-1,0,1,2}, f: A \longrightarrow B$ 表示 $A$ 到 $B$ 的一个映射, 且满足对任意 $x \in A$ 都有 $x+f(x)$ 为偶数, 则这样的映射有 个.
五. 求下列的表达式
(1)$g(x)=1/x$, 求$g(g(x))$.
(2) $f(x)=x^2, g(x)= \left{\begin{aligned}x-1(x\geq0)\\2-x(x<0)\end{aligned}\right.$, 求$f(g(x)), g(f(x))$.
(3) $f(x)={2x+1\over x+1}$, 求$f(f(x)), f(f(f(x)))$.
六. 选择合适的答案
(1) 已知 $f(x-2)=x^{2}-4 x$, 那么 $f(x)=($ ）
A. $x^{2}+8 x-4$
B. $x^{2}-8 x-4$
C. $x^{2}+8 x$
D. $x^{2}-4$
(2) 已知 $f(\sqrt{x}+1)=x+2 \sqrt{x}$, 求函数 $f(x)$ 的解析式.
(3) 已知 $f(x)$ 是一次函数, 若对所有 $x \in \mathbf{R}$ 都有 $f[f(x)]=x$, 且 $f(5)=-4$, 求 $f(x)$.
(4) 已知 $g(x)=1-2 x, f[g(x)]=\frac{1-x^{2}}{x^{2}}(x \neq 0)$, 则 $f\left(\frac{1}{2}\right)$ 等于（）
A. 1
B. 3
C. 15
D. 30
七. 设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$, 求下列函数的定义域.
(1) $y=f(3 x)$;
(2) $y=f\left(\frac{1}{x}\right)$;
(3) $y=f\left(x+\frac{1}{3}\right)+f\left (x-\frac{1}{3}\right)$;
(4) $y=f(x+a)+f(x-a)$.
八. 求$f(x)=3-{1\over\sqrt{x^2+1}-2}$的值域.
九. 求下列函数的值域:
(1) $y=5-\sqrt{3+2x-x^2}$.
(2)$y=x-\sqrt{x+3}$.
十. 回答下列问题
(1)$f(x)=\sqrt{ax-2}$在$[3,\infty)$上有意义, 求$a$范围.
(2)若$y=\sqrt{kx^2+6x+k+8}$定义域是$\mathbb R$, 求$k$范围.
(3)若$y=\sqrt{kx^2+6x+k+8}$值域是$[0,+\infty)$, 求$k$范围.
十一. 将正整数 18 分解成两个正整数的乘积有: $1 \times 18,2 \times 9,3 \times 6$ 三种, 又 $3 \times 6$ 是这三种分解 中两数的差的绝对值最小的, 我们称 $3 \times 6$ 为 18 的最佳分解. 当 $p \times q(p \leqslant q)$ 是正整数 $n$ 的 最佳分解时, 我们规定 $F(n)=\frac{p}{q}$ ，例如 $F(18)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
(1)下列有关 $F(n)$ 的叙述, 正确的序号为 (把你认为正确的序号都写上)
(A) $F(4)=1$
(B) $F(24)=\frac{3}{8}$
(C) $F(27)=\frac{1}{3}$;
(D)若 $n$ 是一个质数, 则 $F(n)=\frac{1}{n}$;
(E)若 $n$ 是一个完全平方数, 则 $F(n)=1$
(2)说明 $F(x)$ 是一个函数, 并探讨 $F(x)$ 的值域是否为 $(0,1]$ 上的所有有理数.