(1)知在$[0,+\infty)$上奇函数$f(x)=x(1+\sqrt[3]{x}),$ 那么在$(-\infty,0]$上, $f(x)$的解析式是. (2)知在$[0,+\infty)$上偶函数$f(x)=x(1+\sqrt[3]{x}),$ 那么在$(-\infty,0]$上, $f(x)$的解析式是.
(1)$\R$上的偶函数$f(x)$, 对于$\forall x_1, x_2\in [0,\infty)$, 都有$(f(x_1)-f(x_2))/(x_1-x_2)<0$, 问$f(1), f(-2), f(3)$的大小关系. (2)在$\R$上的偶函数$f(x)$, 在$[0,+\infty)$上单调递增, 求$f(2x-1)<f(1/3)$的范围. (3)$f(x)$是定义在$(-1,1)$的奇函数, 且在$[0,1)$上单调递增, 求$f(x)+f(2x-1)<0$的取值范围.
(1)设函数 $f(x)=\dfrac{x^{3}+|x|+2 x^{2}+x}{2 x^{2}+|x|}$ 的最大值为 $M$ , 是小值为 $m$ , 则 $M$ 与 $m$ 满足 ( ). A. $M+m=2$ B. $M+m=4$ C. $M-m=2$ D. $M-m=4$ (2) 已知$f(x)$为奇函数, $g(x)$为偶函数, 且$f(x)-g(x)={1\over x+1},$求$f(x), g(x)$. (3) 现在有定义域对称的$h(x)$, 现将其分解为一个奇函数$f(x)$和一个偶函数$g(x)$的和, 试构造出$f(x)$与$g(x)$.
(1)若$f(x)=f(4-x)$, 若$x\in (-\infty,2), f(x)=2x-1$, 那么写出$x\in (2,\infty), f(x)$的解析式. (2)若$f(2+x)=f(4-x)$, 若$f(x)$有三个不相等的实数根, 求这三个根的和是多少. (3)若$f(x)+f(4-x)=0, f(1+x)=f(1-x), x\in (0,1]$的时候$f(x)=2x-1$, $f(x)=0$在$[-1,5]$上有多少个不同的实数根? (4)如果$f(x)$是奇函数, $-f(x+1)$等于$f(-x+1)$还是$f(-x-1)$?如果$f(x+1)$是奇函数, 那么$-f(x+1)$等于$f(-x+1)$还是$f(-x-1)$?
已知 $f(x)$ 是定义在 $[-1,1]$ 上的奇函数, 且 $f(1)=1$ ; 对 $a, b \in[-1,1], a+b \neq 0$ , 有 $\frac{f(a)+f(b)}{a+b}>0$ . (1)解不等式 $f\left(x+\frac{1}{2}\right)<f\left(\frac{1}{x-1}\right)$ ; (2) 若 $f(x) \leqslant m^{2}-2 a m+1$ 对所有 $x$ $\in[-1,1], a \in[-1,1]$ 恒成立, 求实数 $m$ 的取值范围.
定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足：对任意实数 $m, n$ , 总有 $f(m+n)=f(m) \cdot f(n)$ , 且当 $x>0$ 时, $0<f(x)<1$ . (1) 判断 $f(x)$ 的单调性; (2) 设 $A=\left{(x, y) \mid f\left(x^{2}\right) \cdot f\left(y^{2}\right)>f(1)\right} , B={(x, y) \mid f(a x-y+\sqrt{2})=1, a \in \mathbf{R}}$ , 若 $A \cap B=\varnothing$ , 试确定 $a$ 的取值范围.
(1) 若 $f(x)$ 是一次函数, 且 $f[f(x)]=4 x-1$ , 则 $f(x)=$ (2)已知函数 $f(x)$ 在区间 $[-2,3]$ 是增函数, 则函数 $y=f(2 x-1)$ 的递增区间是.