6LN - 函数的更多性质

一些闲话

人人都可以讲课

所以每次回家之后可以把讲义盖上, 看看自己能不能讲的动, 如果可以, 那就太好了!

事实上, 这个东西在以后进行更加复杂的学习也是一样的, 通过自己给自己讲述, 我们就可以得到更加优秀的理解.

正所谓"温故而知新, 可以为师矣." 大家加油!

试着画一点函数图像吧!

• $f(x)=x^4+2x^2+1$
• $g(x)=|x-1|-|x-2|$
• $h(x)={1/(x^2-2x+2)}$

为什么$h(x)$是平的?

• 因为二次函数那边也是平的(当$x$变化的时候$y$的变化很小).
• 这就是导数的直观感受

猜一猜$h(x)={1/(x^2-2x)}$的函数图像.

• 本质上还是求一堆倒数.
• 玩多了, 会的越多, 不会的也越多.

奇偶性

奇偶性cont'd

• 运算

  • 奇函数+奇函数=?
    • 先举几个例子吧.
  • 奇函数+偶函数=?
    • 不是0就非机非偶
  • 奇函数$\times$奇函数=?

• 应用: 给一半, 求另一半.

• 看Ex1.

  • 我会画图...
  • 但是我不知道那一边怎么样.
  • 代数推演! 不妨让$-x$出现.
  • 又因为$f(x)=-f(x)$.
  • 小心0. !

• 看Ex.2(1,2,3).

  • 提示! 定义域!
  • 参考答案: 大中小,$(1/3,2/3),(0,1/3)$.
  • 自己重视, 要有痛感.

• 看3.(1)

  • 难看? 先分离常数.
  • 然后看上下的奇偶性
  • 画一个图(A).

• 看3. (2)

  • 想办法搞出来个$-x$玩玩.
  • 然后解方程组即可.

其实, 任何定义域对称的函数都可以被解成一个奇函数和一个偶函数的和.

• 还是要谁出现来着?
• 好抽象... 不用害怕.

试试看拆一下$f(x)=x^3+3x^2+2x+1$.

• 别忘里面代, 有点麻烦.
• 很多时候我们浇了一个高级一点的普适性方法, 大家就不用基础的方法了.
• 其实他们是共存的. 最通用的方法应该交给计算机完成.

探索

如果是复合函数, 那么函数的奇偶性与内外层的奇偶性有什么关系?

混入了非奇非偶的会怎么样?

对称性: 轴对称

更一般的对称性是怎样的?

像上节课一样, 画一个小人

代数化的表示

• $f(a+x)=f(a-x)$, 关于$x=a$对称. (轴对称)
  • 我们会代换! 于是有了$f(x)=f(2a-x)$.
• 那么$f(a+x)=f(b-x)$, 说明什么?
  • 那就是用$a,b$的中间对称了!

我们来试试看! Ex4(1)(2).

• 是不是可以用给一半, 求一半的原则?
• 只不过这里是$4-x$必须出现了!
• ⑨. !

休息与闲聊

关于为什么.

另一个芝诺悖论: 关于乌龟和追乌龟的人的故事

长跑健将阿基里斯与距他前面不远处的一只乌龟一同起跑, 当阿基里斯到达乌龟的起跑点位置A时, 乌龟已经跑到了位置B, 当阿基里斯跑到位置B时, 乌龟又向前跑了一段距离, 到达位置C, 阿基里斯继续向前跑, 当到达位置C时, 乌龟再到达另外一个位置, 就这样, 阿基里斯永远追不上这只乌龟……

涉及到当代微积分中的核心概念: 不同的无穷小加在一起有可能无穷大.

无穷大还是有级别的.

为什么有的近似可以, 有的不行?

大学我们会学! 加油!

对称性: 中心对称

仿照轴对称, 请写出中心对称的三个式子. 还是画小人

• $f(a+x)=2b-f(a-x)$, 关于$(a,b)$对称.
• $f(x)+f(2a-x)=2b$, 关于$(a,b)$对称.
• $f(a-x)+f(b+x)=m$, 关于$((a+b)/2,m/2)$对称.

看Ex4(3).

• 既要轴对称又要中心对称?
• 注意开区间和闭区间, 实点和虚点没标, 是习惯的硬伤.
• 注意奇函数的定义!
• ⑨. !

注意 Ex(4).

• B,A.

指数函数(exponential function)

从逆运算的角度看指数函数

我们学过加法, 乘法, 它们都有逆运算. 指数也有, 我们后面回学习.

总之看下指数的定义: 有点难打, 大家应该都会, $n$个$a$相乘. 底数, 指数, 幂.

• 指数是正整数.
• 我们要拓展! $\N^*\to \N, a^0=1$.

总结: 学到了什么

• 如何复习, 如何看笔记.
• 有哪些函数的性质, 以及它们的代数形式, 几何形式.
• 指数函数该如何拓展(下一次的悬念).
• 指数的逆运算是什么(下几次的悬念).

End.

Don't Panic.

如果你还没有入门, 仍然感到恐惧, 请记住：坚持住, 进入未知领域, 从简单的、能理解的东西试起, 投入时间, 就有收获. 从这里开始, 你就能慢慢克服恐惧了. 我们为大家准备了的这些讲稿基本上是按照上课的思路来的. 如果你能好好运用这些材料, 你就会感受到真正的力量!